Jak Wyznaczyć Zbiór Wartości Funkcji Kwadratowej

Funkcja kwadratowa to jedna z podstawowych funkcji w matematyce, opisana ogólnym wzorem postaci:

f(x) = ax² + bx + c

gdzie a, b i c są stałymi, a a ≠ 0. Wyznaczenie zbioru wartości tej funkcji jest istotne w wielu dziedzinach matematyki i jej zastosowaniach. W tym artykule przedstawimy krok po kroku, jak to zrobić.

Krok 1: Określenie Współczynnika a

Na początku musimy określić wartość współczynnika a. To on decyduje o kierunku ramion paraboli:

Jeśli a > 0, ramiona paraboli są skierowane w górę.

Jeśli a < 0, ramiona paraboli są skierowane w dół.

Krok 2: Wyznaczenie Wierzchołka Paraboli

Wierzchołek paraboli to punkt, w którym funkcja osiąga swoje maksimum lub minimum. Możemy go obliczyć ze wzorów:

Współrzędna x wierzchołka: x_w = -\frac{b}{2a}

Współrzędna y wierzchołka: f(x_w) = a(x_w)^2 + b(x_w) + c

Na podstawie tych wartości możemy określić, czy wierzchołek jest maksimum czy minimum, w zależności od znaku współczynnika a.

Krok 3: Określenie Zbioru Wartości

Na podstawie wierzchołka oraz kierunku ramion paraboli możemy określić zbiór wartości funkcji kwadratowej:

Jeśli a > 0, zbiór wartości będzie od y_w (wartość y w wierzchołku) do nieskończoności:

W = [y_w, +∞)

Jeśli a < 0, zbiór wartości będzie od nieskończoności do y_w:

W = (-∞, y_w]

Krok 4: Przykład

Rozważmy funkcję kwadratową:

f(x) = 2x² - 8x + 3

Współczynnik a = 2 (ramiona skierowane w górę).

Obliczamy wierzchołek:

x_w = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2

f(2) = 2(2)² - 8(2) + 3 = -5

Zbiór wartości to: W = [-5, +∞)

Podsumowanie

Wyznaczenie zbioru wartości funkcji kwadratowej jest procesem, który wymaga analizy współczynnika a, obliczenia wierzchołka oraz określenia, w jaki sposób ramiona paraboli wpływają na zbiory wartości. Znajomość tych kroków pozwala na lepsze zrozumienie zachowania funkcji kwadratowych i ich zastosowań w praktyce.

Jak Wyznaczyć Zbiór Wartości Funkcji Kwadratowej