Jak Obliczyć Zbiór Wartości Funkcji Kwadratowej

Funkcja kwadratowa ma postać:

f(x) = ax² + bx + c

gdzie a, b i c są współczynnikami, a a ≠ 0. Zbiór wartości tej funkcji jest zbiorem wszystkich możliwych wartości, jakie funkcja może przyjąć dla różnych argumentów x. W artykule przedstawimy, jak obliczyć zbiór wartości funkcji kwadratowej.

Kroki do obliczenia zbioru wartości funkcji kwadratowej

Określenie współczynnika a

Wartość współczynnika a ma kluczowe znaczenie dla kształtu paraboli. Jeśli a > 0, parabola jest otwarta ku górze, a jeśli a < 0, to ku dołowi.

Obliczenie wierzchołka paraboli

Wierzchołek paraboli, oznaczany jako (x₀, y₀), można obliczyć ze wzorów:
- x₀ = -b / (2a)
- y₀ = f(x₀) = a(x₀)² + b(x₀) + c

Określenie zbioru wartości

W zależności od wartości a, zbiór wartości będzie wyglądał różnie:
- Jeśli a > 0: Zbiór wartości to [y₀, +∞), co oznacza, że funkcja osiąga minimum w punkcie y₀ i rośnie w nieskończoność.
- Jeśli a < 0: Zbiór wartości to (-∞, y₀], co oznacza, że funkcja osiąga maksimum w punkcie y₀ i maleje do nieskończoności.

Przykład obliczenia zbioru wartości

Rozważmy funkcję kwadratową:

f(x) = 2x² - 4x + 1

Współczynnik a wynosi 2, więc a > 0. Parabola jest otwarta ku górze.

Obliczamy wierzchołek:

x₀ = -(-4) / (2 * 2) = 1

y₀ = f(1) = 2(1)² - 4(1) + 1 = -1

Określamy zbiór wartości: [y₀, +∞) = [-1, +∞)

Podsumowanie

Obliczenie zbioru wartości funkcji kwadratowej wymaga analizy współczynnika a, wyznaczenia wierzchołka oraz określenia, czy funkcja osiąga minimum, czy maksimum. Dzięki tym prostym krokom można łatwo zrozumieć, jakie wartości przyjmuje dana funkcja kwadratowa.

Jak Obliczyć Zbiór Wartości Funkcji Kwadratowej