Kategoria: Poradniki
Wyznacznik macierzy to jedna z fundamentalnych koncepcji w algebrze liniowej. Służy do określenia, czy dana macierz jest odwracalna, a także ma zastosowanie w różnych dziedzinach matematyki, fizyki i inżynierii. W tym artykule przedstawimy, jak obliczyć wyznacznik macierzy dla różnych rozmiarów.
Wyznacznik macierzy to liczba, która jest przypisana do danej macierzy kwadratowej. Oznaczany zazwyczaj jako det(A), gdzie A to macierz. Wyznacznik ma wiele właściwości, w tym:
Dla macierzy 2x2, wyznacznik oblicza się według wzoru:
Jeśli mamy macierz:
A =
| a b |
| c d |
to wyznacznik det(A) obliczamy jako:
det(A) = ad - bc
Dla macierzy 3x3, wyznacznik można obliczyć przy użyciu reguły Sarrusa lub metodą rozwijania według wierszy lub kolumn. Przyjrzyjmy się regule Sarrusa:
Jeśli mamy macierz:
A =
| a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |
to wyznacznik det(A) obliczamy jako:
Ostateczny wzór wygląda następująco:
det(A) = (a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32) - (a13 * a22 * a31 + a11 * a23 * a32 + a12 * a21 * a33)
Dla macierzy większych niż 3x3, najczęściej stosuje się metodę rozwijania według wierszy lub kolumn. Proces ten polega na:
Wzór Laplace'a dla wyznacznika macierzy A o rozmiarze n x n wygląda następująco:
det(A) = Σ (-1)^(i+j) * aij * det(Mij)
gdzie Mij to macierz uzyskana z A przez usunięcie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Obliczanie wyznacznika macierzy to kluczowa umiejętność w algebrze liniowej. Niezależnie od rozmiaru macierzy, istnieją określone metody, które ułatwiają ten proces. Znajomość tych metod pozwala na lepsze zrozumienie właściwości macierzy oraz ich zastosowania w praktyce.